素数 と は。 素数の不思議

【素数の基本】素数の一覧表・種類・判定まとめと問題

素数 と は

素数の簡単な復習 はじめに少しだけ素数とはどんな数字であるかを復習しておきましょう。 しかし、もっと桁数が大きい数字を素数どうか判断するのはかなり至難のわざです。 例えば、以下の数は素数でしょうか?考えてみましょう。 こんな式を素数に対しても作ればよいのです。 しかし、これが作れないです。 その理由は、 素数には現れる順番に法則性がない からです。 これは素数が現れる順番に法則性が無いからです。 もしかすると、 私たちが法則性に気づいていないだけかもしれませんが、過去の偉人たちや現代のテクノロジーをもってしても未だに見つけられていません。 以下の記事では、過去の天才達が素数の法則を見つけようとした努力の航跡を紹介しています。 法則性が見つからない限り、手あたり次第にその数が割れるかどうかを判断する必要があるからです。 ただ、その中でも効率的に素数を見つける方法も考え出されました。 この方法は簡単に言ってしまうと、消去法です。 まず、調べたいすべての整数を一覧表にします。 以下のような表ですね。 以下の表が完成したものです。 上の操作に加えて、どの段階で倍数を消す作業をやめるかといった細かいルールがありますので、詳しく知りたい人は以下の記事をご覧ください。 この方法は古代ギリシャのエラトステネスというっ数学者によって考案されました。 今から2000年以上前の時代です(紀元前276年~紀元前194年)。 そして、2000年たった現在でも、エラトステネスの篩に勝る方法は見つかっていません。 コンピュータを使って素数だけを抜き出す場合でも、基本的には、素数の倍数を消していくという計算を行っているだけなのです。 このように、素数を見つけ出すのはものすごく難しいのです。 しかし逆に、この見つけにくさが、私たちのメールやデータの情報を守るための暗号化に役立っています。 詳しくは以下の記事でご覧ください。 地中にいた幼虫が地上に出てきて成虫になることを羽化といいます。 アメリカには、 羽化の周期が正確に13年や17年ごとであるセミが生息しているのです。 13年ごとに羽化するのは主にアメリカの南部に生息する素数ゼミ、17年ごとに羽化するのは北部に生息する素数ゼミです。 素数ゼミの羽化する周期が13年や17年と素数なのは、単なる偶然ではありません。 これには彼ら素数ゼミが生き残るために選んだ戦略の一つなのです。 その理由は、 素数の倍数で羽化することにより、• 天敵が大量発生する周期となるべく一致しないようにする• 他の種類のセミの周期と一致しないようにすることで、異なる種との交配を避け、種の保存を守る ためと考えられています。 つまり、天敵や別のセミの周期的な大量発生をできるだけ避けているのです。 これは、 素数を使って、ほかの数との最小公約数をできるだけ大きくしている という言い方もできます。 素数が人間だけでなく、自然界でも使われているとは面白いですね。 詳しい説明は以下の記事をご覧ください。 素数ゼミの謎について解説しています。 1~9までのカードで素数を作ろう ここに、1~9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、合計9枚あります。 これらのカードを自由に並び替えて9桁の整数を作ります。 その数が素数になるように並べることはできるでしょうか? そのまま考えるのは難しいので、ヒントをお教えしましょう。 答えです。 どのように並べ替えてもこのことは変わりません。 素数かどうかを判断してみよう では次の問題です。 素数でないものを探そう 次の数字のうち素数でないものを探してみましょう。 それはどれでしょう? どれも素数っぽい数ですよね。 見つけ出しましょう。 これもヒントなしでは難しいです。 電卓を使って探してみてくださいね。 答えです。 この問題はヒントがないとかなり難しいでしょう。 このように、素数を探す作業というのは未だに効果的な方法が見つかっていないので難しいのです。 例えば、• 119• 341 などもパッと見は「素数かな?」と思いますがこれらは、素数ではありません。 まだまだ素数には不思議な性質がいっぱいありますが、今回はこの辺りで終わりにしましょう。 まとめ• 素数にはたくさんの不思議な性質がある• 素数は現れる順番に法則がない(見つかっていない)• 素数を見つけるための効果的な方法は現在存在しない。 素数ゼミは素数の倍数の年に羽化し、天敵や他の種のセミと会うことをできるだけ避けている• 素数の数学的な性質には分からないことがまだ多い.

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史上最大の素数を発見。50番目となるメルセンヌ素数は、原稿用紙5万8000枚分

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素数ってなぁに? 素数とは、1と、その数自身でしか割り切れない整数のこと。 たとえば、3は1で割り切れて3で割り切れますが、そのほかに割り切れる数字がありません。 7もそうだし、11も13も同様ですから、これらは素数と言えます。 2357という数字も、1で割り切れ、それ以外に割り切れる数字は2357しかありません。 したがって2357は素数です。 このように、 1と、その数自身でなければ割り切れない整数を 素数と言います。 2018年1月現在わかっている最大の素数は、2324万9425桁にもなる大きな数字です。 (メルセンヌ素数については別途ご説明しますね) 人類歴史上の数学者は、この素数に魅せられてきました。 でも、一般人には素数の面白さはいまいちわかりません。 このページでは、エレガントで美しい素数について、少しだけご紹介したいと思います。 2は素数。 3も素数。 5も素数。 7も素数。 2、3、5、7は、10以下の一桁の素数の全てです。 「2357」という4桁の数も、350番目の素数です。 2357 22 333 55555 77777772357 最初に2357、次に2を2つ、3を3つ、5を5つ、7を7つ、最後にまた2357をくっつけた数字です。 わかりやすくするため色を変えていますが、1つの大きな桁の素数なのです。 素数2357、なんともいえない魅力のある数字だと思いませんか。 私はこの数字に魅せられて、車の希望ナンバーを素数の2357にしました。 都内でこのナンバーの車を見たら、きっとそれは私です。 素数の定義には、「1で割り切れる事」と、「その数自身で割り切れる」というルールがありました。 では、1自体は素数となるでしょうか。 1は1で割り切れるし、「その数自身で割り切れる」という意味で、1自身である1でも割り切れる、と考えることができるので、1も素数と考えたい方もいるかもしれません。 しかし、もし1を素数としてしまうと、2357を含むこのサイトに書いてあるほかの素数すべてが素数でなくなってしまうのです! 「素数は1だけです!」となってしまうと、他の数学的な考え方をするときに非常に不都合なため、1は素数に含めないルールになっているのです。 それはどういうことか? 二つのケースで簡単にご説明しましょう。 1.エラトステネスのふるいで理解する たとえば、1, 2, 3, 4,…と数字を100まで表に書いて、そこから素数を見つけることにしましょう。 を消します。 残った数が素数である可能性がある、ということになりますね。 4はすでに2の倍数として消されていますので、次は5を検証することになります。 「2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97」と、100以下の素数が残りましたね。 このような作業をすることによって、当初は1~100までの表の数字があったものが、どんどん少なくなっていき、素早く素数を見つけることができるようになります。 このアルゴリズム(計算方法)を「エラトステネスのふるい」と呼びます。 ではこのエラトステネスのふるいの作業のときに、1を素数として考えてしまったらどうなるでしょうか。 「全ての整数は1と-1の倍数であり、=1は全ての自然数の約数」という数学的な性質から、1を素数としてしまった場合、1, 2, 3, 4, 5…全てが1の倍数となり、1を素数としてしまった瞬間に、表に書いた全ての数が消えてしまうのです。 すなわち、 「1を素数としてしまうと、素数は1以外にない」ということになってしまうため、1は素数から外しています。 2.「素因数分解の一意性」というルールから理解する たとえば6の因数は1, 2, 3です。 素因数とは、これらの中で素数の2と3だけが該当します。 1は、何度1をかけてもかけても数字が変わりません。 、ときりがなくなってしまうため、1を素数として考えないようになっています。 以上、考え方は色々ありますが、「1がなぜ素数ではないのか」、少しだけお分かりいただけたでしょうか。 素数2357も素敵ですが、1や0という数字もとても奥が深くて魅力的ですよね。 1や0に関しては、また機会があったらサイトを制作したいと考えています。 素数の数は、どのくらいあると思いますか? 素数の数は、無限大にあると言われています。 では、計算されていてわかっている素数の数がどのくらいあるのか、 秭 じょ以下の素数の数を見てみましょう。 1 秭 じょとは、千、万、億、兆、 京 けい、 垓 がい、 秭 じょの秭で、ゼロが24個の数です。 1秭以下の素数は、184垓3559京9767兆3492億86万7866個あります。 詳細は下の表をどうぞ。 最初の素数である2から、10000までの4桁の素数1229個全てをUPしてみました。 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 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9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973 すごいですね、美しいですね。 こうした素数の一覧は、下のリストからダウンロード可能ですので、ご興味のある方は自由にダウンロードしてくださいね。 ダウンロードリストを表示 私のPCには1~20億までの素数一覧があるのですが、数字だけのテキストファイルなのに490MBほどになり、これを開くことができるエディタがありません。 この数を表示できるソフトを持っている人はほとんどいない事を前提に、下記2種類の素数一覧ファイルをダウンロードできるようにしました。 なお、これら素数表の数字「2 3 5 7 11 13 17 19 23 29... 」を連続して、「2357111317192329... 」とつなげ、小数点以下の数字にした数「0. 2357111317192329... 」は「コープランド-エルデシュ定数」と呼ばれる無理数で、無限小数となります。 txt サイズ: 46KB (小数点以下46534桁まで) 素数の中で、メルセンヌ数の素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。 このページでは、メルセンヌ数とメルセンヌ素数の説明に加えて、メルセンヌ素数の一覧をダウンロードできるようにしてあります。 この答えがメルセンヌ数です。 このメルセンヌ数が素数の時、その素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。 メルセンヌ数はとても面白い特徴を持った数字です。 もう少し詳しくメルセンヌ数を理解してみましょう。 メルセンヌ数の何が面白いかというと、これらの数値を2進数にしたときに全部1になるのです。 「??」ですか? 二進数って何? 2進数とは、0と1だけで表す数のことで、2で桁が上がる数字です。 でも私たちは10で桁が上がる10進数を使いますから馴染みがありませんね。 数字を2進数になおして理解してみましょう。 2進数にしたときに、全部1の数字がありますね。 これがメルセンヌ数なのです。 上の表ですと、3、7、15です。 更にメルセンヌ数は、31、63、127、255、511、1023、2047、8191と続きます。 赤字はメルセンヌ素数です。 面白いですね!(面白くないか。 途中までメルセンヌ素数(計算結果)も併記しました。 (素数自体が大きいものは、クリックすると答えが表示され、もう一度クリックすると答えが隠れます。 これらのメルセンヌ素数が必要な方は、下部からメルセンヌ素数一覧をダウンロードできます。 txt 1. 2進数って面白いでしょ?(面白って言って!笑) 素数は、どのような規則で現れるかまだわかっていません。 と続く素数を、下のように計算しました。 無秩序に現れる素数には、やはり何か規則があるのかも知れないとわかったのです。 素数を使ったオイラーの計算式を参考に、数学者リーマンが下の「ゼータ関数」を考えます。 これが有名な「リーマン予想」です。 リーマン予想は数学上の大難問で、未だにこの仮説を証明・否定できた人はいません。 もし解決できた場合、クレイ数学研究所というところから100万ドルの懸賞金がもらえます。 (日本円で1億円くらい) また、素数のゼータ関数の零点分布を現す数式は、原子核エネルギー間隔の数式と完全に一致していることもわかり、物理の分野にも深い関係がありそうです。 不思議で魅力的な素数・・・。 これから先、どんな研究がされどんな答えが導かれるのでしょうね。 この「素数2357」を見て素数に興味を持ち、将来リーマン予想を証明し1億円稼ぐ天才が現れたら楽しいなと思いつつ、当サイトは製作されました。 ご意見・ご感想などお寄せ頂ければ嬉しいです。 このサイトはとにかく素数だけのサイトなのですが、素数の数が大きくなると数の単位も大きくなります。 万、億、兆、京、 垓 がいくらいは分かっていても、それ以上の単位はほとんどなじみがありませんよね。 おまけの予備知識として現在ある数の単位をすべて掲載します。 不可説不可説転のゼロの数は37218383881977644441306597687849648128個。 37 澗 かん 2183 溝 こう 8388 穣 じょう 1977 秭 じょ 6444 垓 がい 4130 京 けい 6597 兆 ちょう 6878 億 おく 4964 万 まん 8128個と読みます。 いずれにせよ最大は Graham's number ということになっているようです。 素数に関連するWikiリンクや、その他のリンクを掲載します。 リンクを表示 石を並び替える「ハノイの塔」という単純なゲームは、実はメルセンヌ数に深いかかわりのあるゲームです。 パソコンでクリックするだけで遊べますので、宜しかったら遊んでみてくださいね。 (PCのみです。 ごめんなさい) 私の好きな本の一節 「よく人から数学をやって何になるのかと聞かれるが、私は春の野に咲くスミレはただスミレらしく咲いているだけでいいと思っている。 咲くことがどんなによいことであろうとなかろうと、それはスミレのあずかり知らないことだ。 咲いているのといないのではおのずから違うというだけのことである。 私についていえば、ただ数学を学ぶ喜びを食べて生きているというだけである。 そしてその喜びは『発見の喜び』にほかならない」 岡潔著「」より.

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素数(そすう)の意味や定義 Weblio辞書

素数 と は

1より大きい p が,1と p 以外にはをもたないとき, p を素数という。 たとえば 2,3,5,7,11,13,17,19,23,…はみな素数である。 素数でない任意のは,一意的にできる。 すなわち,割り切れなければ n は素数,割り切れれば n はであると判断する。 も本質的には,これと同じによって素数を判定している。 またも素数の有力な判断法を提供している。 素数が自然数のなかにどのように分布しているかについての研究は,の重要なで,素数分布論というもある。 素数は古代から認識されており,は素数が無限に存在することの証明を行なっている。 20世紀になってコンピュータを用いることで 200万桁を上回る素数が確認されている。 出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について の解説 1と自分自身以外では割り切れない自然数。 2、3、5、7、11、13、17、19……と続き、無限個存在することが、古代ギリシャでユークリッドによって示されていた。 「3と5」、「5と7」、「11と13」のように、偶数の両隣の組になっている素数を双子 ふたご 素数という。 は無限個あると予想されているが、未解決である。 また、4以上の偶数は2つの素数の和として書けるという予想 : Goldbach conjecture も未解決。 大きな素数は公開鍵暗号に利用されている。 コンピューターを使い大きな素数を発見する研究が行われており、2006年9月に発見された2 2の32582657乗 -1が、現在具体的に知られている最大の素数。 その桁数は約981万桁 けた。 このように、 2のn乗 -1の形の素数はメルセンヌ Mersenne 素数と呼ばれ、07年9月末現在、素数になるnが計44個知られている。 素数の分布はリーマンのゼータ関数 と関係している。 ある自然数が素数であるかどうかを判定することは実用上重要であるが、02年にアグラワル M. Agrawal 、カヤル N. Kayal 、サクセナ N. Saxena の3人のインド人研究者によって、多項式時間で判定できるという驚くべき結果が得られた。 桂利行 東京大学大学院教授 / 2008年 出典 株 朝日新聞出版発行「知恵蔵」 知恵蔵について の解説 1と自分自身以外に約数をもたない自然数のうち1でないものを素数という。 自然数aが自然数bを割り切ることをa bという記号で表す。 1でない自然数pが素数であることはまた、自然数a、bに対してp abならば、p aまたはp bが成り立つ、ともいいかえられる。 ユークリッドの『ストイケイア』のなかに、素数は無数に存在することが証明されている。 その証明を現代風に述べてみる。 Nは2、3、5、……、pのいずれによっても割り切れない。 したがって1と自分自身以外に約数をもたないのでNは素数である。 Nは2、3、5、……、pのどれにも一致しないから、それらがすべての素数であるという仮定に反する。 したがって素数の数は有限ではない。 素数表をつくるには「エラトステネスのふるい」と称する方法を用いる。 現代でも基本的にはこの方法を改良して素数表をつくる。 最初に2から順に自然数を並べる。 まず2を残し、2の倍数を消していく。 次に残った数のなかで最小の数3を残し、3の倍数を消していく。 次に残った数のなかで最小の数5を残し、5の倍数を消していく。 以下同様に続けて素数表を得る。 なおエラトステネスは紀元前3世紀ごろのギリシアの天文学者・地理学者である。 2以上の自然数は素数の積として表せる。 またその表し方は順序を除けば一意的である。 素因数分解とその一意性についてはユークリッドの『ストイケイア』に記述があるが、その重要性は、ガウスの『数論研究』 Disquisitiones Arithmeticae(1801)に至るまで十分認識されなかった。 その重要性は、複素数にまで整数の概念を拡張するとき、かならずしも素因数分解とその一意性が成り立たないことによって逆に認識される。 11と13、17と19のように差が2の素数の組を双子素数という。 双子素数は無数に存在するという予想があるが、現在未解決の問題である。 [足立恒雄] 算術級数の定理たとえば一位の数が1である素数としては11,31,41,61,71などがある。 また一位の数が3である素数としては3,13,23,43,53,73,83などがある。 はたしてこれらの素数はそれぞれ無数にあるだろうか。 このような素数の無限性を精密にした疑問に答えるのが算術級数の定理であって、1837年ディリクレによって初めて正確に証明された。 いま、a、dを互いに素な自然数とする。 たとえばaを1、dを10とすれば、一位の数が1である素数が無数に存在することを意味する。 証明は という素数のすべてにわたる和の級数に関する性質を用いて行われる。 とくにsが1に近づくときf s は発散する。 このことから素数が無数にあることがわかる。 なぜなら、有限個ならばf s はいつでも確定するはずだからである。 算術級数の定理は単なる興味を超えた、基本的定理である。 同じことが一次以上の多項式についていえるかは、まったく未知の問題である。 アダマールとド・ラ・バレ・プーサンは1896年独立に素数定理、すなわち が成り立つことを証明した。 初期の証明には関数論の深い結果が用いられたが、セルバーグによって関数論を用いない証明が得られている(1949)。 [足立恒雄] 出典 小学館 日本大百科全書 ニッポニカ 日本大百科全書 ニッポニカ について の解説.

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